[EXERCICE 4]

1)
soit x in Ker(f)

f(x) = 0
f(f(x)) = f(0) = 0 donc x in Ker(fof)

Donc Ker f inclu dans Ker f²


2)
soit y in Im(fof)

il existe x tel que f(f(x)) = y
or f(x) in E donc il existe u = f(x) in E tel que f(u) = y
donc y in Im(f)

Donc Imf f² inclu dans Im f


3)
Supposons Ker(f) = Ker(f²)
Soit x in   Ker f inter Im  f

x in Ker donc f(x) = 0 et x in Im donc il existe y tel que f(y) = x
f(f(y)) = f(x) = 0
donc y in Ker f², Or Ker f² = Ker f donc y in Ker f donc f(y) = 0 d'où x = 0
donc Ker f inter Im  f= { 0 }

Supposons Ker f inter Im  f  = { 0 }

*  d'après le 1) Ker(f) C Ker(f²)
De plus
Soit x in Ker(f²)
f(f(x)) = 0
Soit y = f(x)
f(y) = 0 donc y in Ker(f) et y = f(x) avec x dans E, donc y in Im(f)
donc y in Ker f inter Im  f  donc y = 0 d'où f(x) = 0
alors x in Ker(f)

donc Ker(f²) C Ker(f) et Ker(f) C Ker(f²), Ker(f) = Ker(f²)